用特征线差分法模拟河流洪水演变（周冰珂 高双聚 边永欢）

　　摘要：用Saint -Venant 方程组作为模拟河流洪水演变数学模型控制方程，结合边界条件和初始条件，以特征线差分法对河流洪水演变进行数值模拟，数值模拟计算结果和洪水参数随时间变化曲线显示出洪水流经河流过水断面的最大水深、最高水位、最大流速、最大流量等参数量及其变化规律。

　　关键词：洪水；Saint -Venant 方程组；节点；数值模拟

　　一、前言

　　河流的汛期来临，洪水经过河流过水断面时的最大水深、最高水位、最大流速等等问题就成为了焦点。利用Saint-V enant方程组，并结合河流的初始条件和边界条件，以特征线差分法(特征线法是求解浅水方程的基本方法) 对河流洪水演变进行数值模拟，根据模拟计算结果和洪水参数随时间变化曲线可得到洪水经过河流断面的时间、水位、水深、流速、流量等参数，因此可以科学合理地预测以上所提及的焦点问题。

　　针对以上模拟河流洪水演变问题，以下致力于几点内容：首先用Saint-V enant方程组作为控制方程，结合河流初始条件和边界条件，以特征线差分法进行数值模拟理论的研究；其次对河流洪水演变数值模拟进行编程；最后给出模拟河流洪水演变问题算例，并对算例的数值模拟计算结果和洪水参数随时间变化曲线进行分析。

　　二、数值模拟及其编程理论

　　（一）控制方程组

　　河流的洪水演变可以归结为明渠非恒定流问题，在水力学中，把连续性方程和动量方程作为描述明渠非恒定流的基本方程，如果以水位Z 和流量Q 作为变量，那么连续性方程和动量方程所组成的Saint-V enant方程组的微分形式为：

　　式中:B 为水面宽度，A 为过流面积，C 为谢才常数，R 为水力半径。

　　Saint-V enant方程组（1）作为描述河流洪水演变的控制方程组。把Saint-V enant方程组(1)化成特征线方程和特征方程为：

　　式中：ν为断面平均流速，i为渠底坡度，h 为水深。

　　（二）内节点计算

　　内部节点的计算采用库朗格式。如图1 所示，0、…、m -1、m、m +1、…、a 表示节点数，0、…、n-1、n、n+1、…、b 表示数值计算的时间层数。由时间n-1 层中各节点的水位Z 和流量Q 计算时间n 层中各内节点的水位和流量，计算步骤为：

　　1. 用D、M 、E 点的水位和流量求得L 点和R 点的水位和流量，计算公式为：

　　2.用L 和R 点的水位和流量求P 点的水位和流量，计算方程组为：

图1 内节点计算示意图

　　按照以上计算步骤进行编程，就可以由初始条件得到的第0 时间层内各节点的水位和流量，结合边界条件依次计算到第b时间层各内节点的水位和流量，这样就可以得到内节点各个时刻的洪水参数值。

　　（三）边界点的计算

　　如图1 所示，边界节点的计算步骤为：

　　1.用U (或W )、T(或N )点的水位和流量求得H (或F)点的水位和流量，计算公式与公式（5）或公式（4）相似。

　　2.用H (或F)点的水位和流量并结合由左(或右)边界条件得知X (或Y )点的水位(或流量)，从而求得X (或Y )点的流量(或水位)，计算公式和公式（6）相似。

　　三、算例

　　（一）数值模拟算例

　　数值模拟梯形断面河流，河流长度4km，底宽8m，边坡系数为1.5，粗糙系数为0.025，底坡为0.0009，通过流量为15m³/s 时,水深为1.26m，这时河流下游断面水位与水塘中水位平齐，之后下游断面水深hd 随流量Ｑ的变化公式为：

　　　　　　　　hd =0.6+0.056Ｑ-0.0008Ｑ²　　………(7)

　　表1 测得上游断面的流量

　　河流的上游流域降一场大雨，测得上游断面的流量如表1：

　　（二）算例数值模拟编程

　　选择下游断面河底所在水平线为0 水位线，时间步长为60s，共有120 个时间层，距离步长为500m，共9 个节点，从上游断面开始每500m选一个节点，节点依次用0~8 数字表示，具体编程步骤为：

　　1.对所给资料即初始条件做初步处理，计算第0 时间层各节点的水面宽度、断面面积、湿周、水力半径、谢才常数、平均流速、波速、顺特征线、逆特征线、特征方程的常数项；

　　2.用第二节（三）中边界节点计算步骤，计算第1 时间层上游边界节点的水位和流量等参数量；

　　3.利用第二节（二）中内节点的计算步骤，计算第1 时间层的内节点水位和流量等参数量；

　　4.用第二节（三）中边界节点计算步骤，计算第1 时间层下游边界节点的水位和流量等参数量；

　　5.重复步骤(（2）~（4），直至计算到第b 时间层各节点的水位和流量等参数量。

　　（三）算例数值模拟结果

　　从数值模拟计算结果中，可以得到洪水经过河流各节点时的最大水深、最高水位、最大流速和最大流量，详见表2。

表2 数值模拟计算结果表

　　表2 中的数值模拟计算结果显示出洪水从上游边界流向下游边界的过程中，最高水位是逐渐降低的，最大流速是逐渐减小的，最大流量也是逐渐减少的。

　　洪水参数随时间变化曲线图至少有36 张，不可能全部给出，在此只给出洪水经过0 节点、3 节点、6 节点、8 节点的水位随时间变化曲线，如图2~ 图5：

图2 0 节点水位随时间变化曲线图



图3 3 节点水位随时间变化曲线图



图4 6 节点水位随时间变化曲线图



图5 8 节点水位随时间变化曲线图

　　图2~ 图5 中的水位随时间变化曲线显示出洪水从河流上游边界流到下游边界，最高水位是逐渐降低的，上游边界最高水位将近5.20m，下游边界最高水位仅1.31m左右；流经河流断面的时间是在逐渐增大，洪水经过3 节点断面的时间大概40m in，洪水经过6 节点断面的时间大概60m in；河流断面的洪水来临时刻是依次向后推移的，6 节点断面洪水来临时刻大概在0:08:00，下游边界洪水来临时刻大概在0:15:00；从图形的“体型”来看，水位随时间变化曲线由“高瘦”型向“矮胖”型变化。

　　四、结语

　　用Saint-V enant方程组作为数学模型控制方程，结合初始条件和边界条件，以特征线差分法数值模拟了河流洪水演变过程，从算例模拟计算结果得到洪水经过河流过水断面的最大水深、最高水位、最大流速等参数随时间变化曲线，算例中洪水流经整段河流的参数量和水位随时间变化曲线显示出：一方面，洪水从上游边界向下游边界的流经过程中，过流断面的最高水位是逐渐降低的，最大流速是在逐渐减小，最大流量也是在逐渐减少；另一方面从河流上游边界到下游边界，洪水经过河流断面的时间是逐渐增大的，河流断面的洪水来临时刻是依次向后推移的。

　　参考文献

　　［1］张永祥，陈景秋. 用守恒元和解元法数值模拟二维溃坝洪水波［J］. 水利学报, 2005, 36( 10) : 1224- 1229.

　　［2］周雪漪. 计算水力学［M］. 北京：清华大学出版社, 1995: 239.

　　［3］付典龙，傅春. 一维圣维南方程组的特征线法［J］. 南昌大学学报. 2006, 28( 4) : 386 - 387.

　　［4］吴迪军，孙海燕，黄全义. 应急平台中一维洪水演进模型研究［J］. 武汉大学学报, 2008, 33( 5) : 543.